SKKN Ứng dụng của hệ thức Vi-ét để tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai

 ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN CƯ JUT
 TRƯỜNG THCS PHẠM HỒNGTHÁI
 
 SÁNG KIẾN:
 ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI – ÉT ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ CỦA 
THAM SỐ THỎA MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM CỦA 
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Tác giả: Lê Văn Hiền
 Chức vụ: Giáo viên
 Cư Jut, năm 2023 MỤC LỤC
 NỘI DUNG Trang
1. Mở đầu. 01
 1. 1. Lý do chọn đề tài. 01
 1. 2. Mục đích nghiên cứu. 01
 1. 3. Đối tượng nghiên cứu. 02
 1. 4. Phương pháp nghiên cứu. 02
 1. 5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu. 02
2. Nội dung. 03
 2. 1. Cơ sở lý luận của vấn đề. 03
 2. 2. Thực trạng của vấn đề. 03
 2. 3. Các giải pháp tiến hành giải quyết vấn đề. 04
 2. 4. Hiêu quả của đề tài. 14
3. Kết luận và kiến nghị. 14
 3. 1. Kết luận. 14
 3. 2. Kiến nghị. 15
4. Danh mục tài liệu tham khảo. 16 Rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy logic, sự sáng tạo và đam mê 
đối với môn toán hơn.
 Học sinh có kiến thức toàn diện hơn, tự tin hơn khi tham gia các cuộc 
thi lớn. tạo nên bước ngoặt trong cuộc đời mình.
1. 3. Đối tượng nghiên cứu.
 Đề tài “ứng dụng của hệ thức Vi – Ét để tìm giá trị của tham số thỏa 
mãn biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai” của Tôi chỉ áp dụng 
cho đối tượng là học sinh lớp 9.
1. 4. Phương pháp nghiên cứu.
 Trước khi tiến hành thực hiện đề tài này, Tôi đã tìm hiểu năng lực của 
học sinh khi giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số. Đặc biệt là 
năng lực tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm của phương 
trình bậc hai. Tôi thấy rằng dạng toán này trong chương trình học dạng toán 
này rất ít yêu cầu học sinh làm. Nên năng lực giải toán của học sinh ở dạng 
toán này là rất yếu. Nhưng những kì thi lớn: Thi violympic toán, thi học sinh 
giỏi toán 9, thi đầu vào lớp 10, thi vào trường chuyên. Thì lại rất hay sử 
dụng dạng toán này. Vì vậy, Tôi đã đưa đề tài này vào dạy lồng ghép trong 
các tiết luyện tập hoặc thực hiện tiết dạy phụ đạo trái buổi.
1. 5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu.
 Đề tài “ứng dụng của hệ thức Vi – Ét để tìm giá trị của tham số thỏa 
mãn biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai” được tiến hành lồng 
ghép trong nội dung chương IV môn đại số 9 sau khi học xong bài “Hệ thức 
Vi – Ét và ứng dung”.
 2 GV – CNV, học sinh trong trường. Vì vậy, đây là một môi trường tốt để GV – 
CNV công tác và học sinh học tập.
 b) Khó khăn:
 Trường THCS được thành lập từ năm 1996, qua nhiều lần sửa chửa, bổ 
sung cơ sở vật chất. Nhưng hiện tại mái trường cấp 4 đã xuống cấp rất nhiều, 
nhiều cơ sở vật chất quá cũ kỉ, lạc hậu, phòng tin thì máy tính hư nhiều, mấy 
chiếu cũng không đảm bảo công tác giảng dạy nên chưa đáp ứng tốt cho công 
tác dạy và học trong thời kì mà công nghệ, khoa học kĩ thuật phát triển như 
hiện nay.
 Trường THCS Phạm Hồng Thái thuộc địa bàn vùng sâu, kinh tế còn 
nhiều khó khăn, đa số học sinh dân tộc thiểu số là con em nông dân một buổi 
đi học một buổi ở nhà phụ giúp gia đình và một bộ phận phụ huynh đi làm ăn 
xa nhà nên việc quan tâm, đôn đốc con em mình mình là chưa kịp thời, còn 
nhiều hạn chế. Một số học sinh còn bị ảnh hưởng bởi các tệ nạn xã hội như: 
Bida, game online, tập tành hút thuốc nên chưa tập chung vào học tập.
 Trước diễn biến phức tập của dịch Covid 19, nên trường cũng như cả 
nước lựa chọn giải pháp dạy trực tuyến. Vì vậy việc nắm bắt, kiểm tra đôn 
đốc học sinh học bài và làm bài tập ở nhà có nhiều hạn chế. Trong mùa dịch, 
các em mất, hổng kiến thức rất nhiều nên việc dạy và học trực tiếp sau dịch 
cũng gặp nhất nhiều khó khăn vì các em hổng kiến thức nên dẫn đến lười học, 
lười làm bài tập. Vì vậy, khi gặp các bài toán ở mức độ vận dụng đặc biệt là 
dạng toán “tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm của 
phương trình bậc hai” thì đa số các em không làm được nên Tôi quyết tâm 
thực hiện bằng được đề tài này. Mong là các em có thể phần nào hoàn thiện 
kiến thức của mình để khi tham gia các cuộc thi các em sẽ bớt thiệt thòi hơn.
2. 3. Các giải pháp tiến hành giải quyết vấn đề.
 a) Khảo sát thực tế:
 Để thực hiện đề tài này, trước tiên Tôi tiến hành khảo sát học sinh 
thông qua bài kiểm tra 15 phút ở hai lớp 9A1 và 9A2. Cụ thể như sau:
 4 - HS: Tìm hiểu. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
 x1; x2 thỏa mãn các hệ thức sau:
 a) x1 x2 b) x1 2x2
 1 1 
 c) x 3x 2 d) 1
 1 2
 x1 x2
- GV: Để PT(1) có hai nghiệm
 x1; x2 cần có điều kiện gì? Giải
- HS: Để PT(1) có hai nghiệm Xét PT x2 2(m 1)x m2 3 0 (1) 
 x ; x 0
 1 2 thì Ta có:
- GV: Em hãy tìm m để PT(1) có 2 
 ' m 1 1.(m2 3)
hai nghiệm x1; x2 . m2 2m 1 m2 3
- HS: Tìm m để PT(1) có hai 2m 4
nghiệm x1; x2 Để PT(1) có hai nghiệm x1; x2 thì 0
- GV: Với điều kiện nào thì PT(1) Tức 2m 4 0 m 2 (2)
có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn
 x1 x2 a) Để PT(1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa 
- HS: Để PT(1) có hai nghiệm mãn x1 x2 thì PT(1) có nghiệm kép. Tức
 x1; x2 thỏa mãn x1 x2 thì PT(1) có 0 => m = 2
nghiệm kép. Tức 0
- GV: Em hãy tìm tham số m trong
trường hợp đó.
- HS: Tìm giá trị tham số m.
- GV: Để PT(1) có hai nghiệm b) Để PT(1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa 
 x1; x2 thỏa mãn x1 2x2 thì cần điều mãn x1 2x2 thì 0 và x1 2x2
kiện gì? Tức là: m < 2 và x1 2x2 (3) 
- HS: Để PT(1) có hai nghiệm Mà theo định lí VI – ET, ta có:
 2
 x1; x2 thỏa mãn x1 2x2 thì PT(1) x x 2(m 1) và x .x m 3 (4)
 1 2 1 2
phải có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Từ (3) và (4) ta có:
 6 Bài 2. Cho phương trình
 x2 4x (m2 3m) 0 (1)
- GV: Nêu yêu cầu bài toán. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
- HS: Tìm hiểu.
 x1; x2 thỏa mãn các hệ thức sau:
 a) x2 x2 10 b) x 2 x2 4(x x )
 1 2 1 2 1 2
 c) x3 x3 72
 1 2
 Giải
 2 2
- GV: Em hãy tìm m để phương Xét PT: x 4x (m 3m) 0 (1) 
trình có hai nghiệm x1; x2 . Ta có:
 ' 2 2 1.[ (m2 3m)]
- HS: tìm m để phương trình có hai 4 m2 3m
 2 3 9 7
nghiệm x1; x2 . m 2.m. 
 2 4 4
 2
 3 7 7
 m 
 2 4 4
 Vậy, phương trình (1) luôn có hai 
 nghiệm phân biệt với mọi m
 Theo định lý Vi – Et ta có:
- GV: Y/c HS tìm m để phương x x 4 và x .x m2 3m (2)
 1 2 1 2
trình có hai nghiệm x ; x thỏa mãn
 1 2 a) Ta có:
các hệ thức sau: x2 x2 10
 1 2 x2 x2 10
 1 2
- HS: tìm m để phương trình có hai 
 (x x )2 2x x 10 (3)
 1 2 1 2
nghiệm x1; x2 thỏa mãn các hệ thức
 Từ (2) và (3) suy ra:
sau: x2 x2 10
 1 2 42 2 m2 3m 10
 2m2 6m 6 0 (PT vô nghiệm) 
 Vậy, không có giá trị nào của m để PT
 có hai nghệm x ; x thỏa mãn x2 x2 10
 1 2 1 2
- GV: Y/c HS tìm m để phương b) Ta có:
 8 dương.
 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm
 x x
 x ; x thỏa mãn 1 2 2
 1 2
 x2 x1
 d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm
 2 2
 x x 
 x ; x thỏa mãn 1 2 7
 1 2 x x 
 2 1 
- GV: Để PT (1) có hai nghiệm âm Giải
thì cần điều kiện gì? a) Để PT (1) có hai nghiệm âm thì
 ' 0 32 2m 0
- HS: Để PT (1) có hai nghiệm âm m 9
 x x 0 3 0 2
thì 0 , x x 0 và x .x 0 1 2 
 1 2 1 2 x .x 0 m m 0
 1 2 0
 2
- GV: Yêu cầu HS tìm điều kiện 9
 0 m 
của m để PT (1) có hai nghiệm 2
 9 
âm. Vậy, 0 m thì PT (1) có hai nghiệm
- HS: Tìm điều kiện của m để PT 2
(1) có hai nghiệm âm. âm
- GV: Để PT (1) có hai nghiệm b) Để PT (1) có hai nghiệm dương thì
dương thì cần điều kiện gì? 
 ' 0 32 2m 0
- HS: Để PT (1) có hai nghiệm x x 0 3 0(KTM )
 1 2 
dương thì 0 , x 1 x 2 0 và x .x 0 m
 1 2 0
x1.x2 0 2
- GV: Yêu cầu HS tìm điều kiện Vậy, Không có giá trị nào của m để PT
của m để PT (1) có hai nghiệm (1) có hai nghiệm dương.
dương. c) Để PT (1) có hai nghiệm thỏa mãn
 x x
- HS: Tìm điều kiện của m để PT 1 2 2 thì
(1) có hai nghiệm dương. x2 x1
- GV: Để PT (1) có hai nghiệm
 10 2 2
của PT (*) x x 
 1 2 7 x 4 x 4 7x 2.x 2
 1 2 1 2
 x2 x 1 
 2 
- GV: Em hãy tìm m để phương 2 2 2 2
 x1 x 2 9x 1.x 2 
trình có hai nghiệm x ; x thỏa mãn 2 2
 1 2 x x 2x .x 9x 2.x 2
 2 2
 x x 1 2 1 2 1 2
 1 2 7 2
 2 2
 x2 x1 a 2.1 9.1
 2 
 a2 2 9 a2 2 3
- HS: Tìm m để phương trình có 
 a2 2 3 hoặc a2 2 3
hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn
 2 2 2 2
 x x a 5 hoặc a 1 (loại)
 1 2 7
 x x
 2 1 a 5 hoặc a 5
 Vậy, a 5 hoặc a 5 thì PT (*) có 
- Gv: Khái quát bài toán.
 hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn
- HS: Lắng nghe. 2 2
 x x 
 1 2 
 7
 x2 x1 
 Bài 5. Cho phương trình
- GV: Nêu yêu cầu bài toán. x2 2(m 1)x m 3 0 (1)
- HS: Tìm hiểu Xác định m để phương trình có hai 
 x ; x 2 2
 nghiệm 1 2sao cho x 1 x đạt2 giá trị
 nhỏ nhất. 
 Giải
- GV: Em hãy tìm điều kiện của m 
 Để PT (1) có hai nghiệm x1; x2 thì
để PT (1) có hai nghiệm x1; x2
 ' 0 (m 1)2 m 3 0
 m2 m 4 0
 2
 - HS: Tìm điều kiện của m để PT 1 15
 m 0 với mọi m
(1) có hai nghiệm x1; x2 2 4 
 Vậy PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
 x1; x2 với mọi m.
- GV: Em hãy tính tổng, tích hai Theo Vi - ét, ta có:
 12