SKKN Giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường THCS Lương Thế Vinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đắk Lắk

 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018
 I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
 Như chúng ta đã biết, Toán học là ngôn ngữ chung của vũ trụ. Toán học là một 
môn khoa học đặc biệt quan trọng trong mọi lĩnh vực. Con người chúng ta trong bất 
kì hoàn cảnh nào cũng không thể thiếu kiến thức về toán. Nghiên cứu về toán cũng 
chính là nghiên cứu một phần của thế giới. Các kiến thức và phương pháp toán học là 
công cụ hỗ trợ đắc lực giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả 
trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực 
và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mĩ của người 
công dân. 
 Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không 
ngừng. Để đào tạo ra những con người nghiên cứu về Toán học thì trước hết phải 
đào tạo ra những con người có kiến thức vững vàng về môn Toán. Đây là nhiệm vụ 
hết sức quan trọng, lâu dài đối với ngành Giáo dục và đào tạo. Do đó đòi hỏi mỗi 
thầy cô giáo phải lao động, phải có sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có phương 
pháp dạy học hiệu quả giúp học sinh học và giải quyết bài toán một cách tốt nhất. 
Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung vô cùng quan trọng trong chương 
trình toán học ở trung học cơ sở. Việc nắm vững các phương pháp phân tích đa thức 
thành nhân tử không những giúp học sinh làm tốt các bài toán dạng này mà còn là 
công cụ cần thiết giúp các em vận dụng tốt vào giải các phương trình, chứng 
minh.Đặc biệt giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo một cách tốt nhất. Qua 
quá trình dạy toán ở trung học cơ sở, qua kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi và qua 
quá trình tìm tòi của bản thân tôi đã hệ thống được một số phương pháp phân tích đa 
thức thành nhân tử mà thiết nghĩ mỗi thầy cô giáo dạy toán đều cần trang bị cho học 
sinh để giúp các em giải tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử góp phần 
nâng cao tư duy toán học tạo điều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình 
học tập nói chung. Phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán gặp rất nhiều 
trong toán trung học cơ sở, nó đa dạng nên khi giải các bài toán trên học sinh phải 
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk 
 1 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018
3. Đối tượng nghiên cứu 
- Nghiên cứu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để từ đó học sinh biết 
vận dụng linh hoạt các phương pháp vào giải toán. 
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 8A1, 8A3 trường trung học cơ sở Lương Thế vinh huyện Krông Ana 
tỉnh Đắklắk năm học 2017- 2018. 
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SBT, SGV toán 8, chuẩn kiến thức kĩ 
năng, nâng cao và pháp triển toán 8, các tài liệu có liên quan; nghiên cứu qua các quá 
trình giải bài tập của học sinh; nghiên cứu qua các bài kiểm tra của học sinh theo 
từng đợt; nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
- Phương pháp thống kê toán học.
- Phương pháp điều tra, khảo sát.
- Phương pháp đàm thoại – gợi mở. 
- Phương pháp thu thập và xử lý số liệu.
- Phương pháp tác động giáo dục .
- Phương pháp thực nghiệm. 
 II. PHẦN NỘI DUNG
 1. Cơ sở lí luận
 Căn cứ công văn hướng dẫn số 04/PGDĐT-TĐKT ngày 06 tháng 01 năm 2015 
của Phòng GD-ĐT huyện Krông Ana về việc hướng dẫn viết, đánh giá SKKN từ năm 
học 2015- 2016 (Kèm theo Công văn số 232 /PGDĐT-TĐKT ngày 09 tháng11 năm 
2017).
 Để việc dạy học đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền 
đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm 
trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo 
và tự giác của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, cùng với sự trao đổi qua các đồng 
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk 
 3 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018
 A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 
 A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
 c) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
 Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung 
hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:
 + Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
 + Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
 + Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
 d) Phối hợp các phương pháp cơ bản
 Vận dụng và phát triển kỹ năng là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ 
bản: 
 + Phương pháp đặt nhân tử chung
 + Phương pháp dùng hằng đẳng thức
 + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
 e) Phöông phaùp tìm nghiệm của đa thức: 
 Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ 
người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
Khái niệm của đa thức: số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như 
vậy nếu đa thức có nghiệm là a thì nó chứa nhân tử x- a.
 Ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có phải là ước của 
hệ số tự do. 
 n n-1
 Thật vậy giả sử đa thức a 0x + a1x ++ an-1x + an với các hệ số a 0 ; a1 ; a2 
;a3 ;.an nguyên, có nghiệm x = a ( a là số nguyên) . 
 n n-1 n-1 n-2
 Từ đó suy ra a0x + a1x ++ an-1x + an = (x – a) (b0x + b1x ++ bn-1)
 Trong đó b0 ; b1 ; b2 ;.bn-1 nguyên. Hạng tử có bậc thấp nhất của tích ở 
vế phải bằng –abn-1, Hạng tử có bậc thấp nhất của vế trái bằng an 
 Vì vậy –abn-1= an suy ra an chia hết cho a tức a là ước của an
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk 
 5 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018
 Từ kết quả khảo sát trên thông qua việc điều tra tình hình học tập của các em 
học sinh tôi nhận thấy một số thuận lợi như: 
 + Được sự quan tâm chỉ đạo sát sao của ban giám hiệu nhà trường.
 + Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng chí đồng nghiệp.
 + Nhà trường có tương đối đầy đủ phương tiện trang thiết bị phục vụ cho dạy 
học.
 Tuy nhiên vẫn còn nhiều khó khăn:
 + Trình độ nhận thức của các em không đồng đều (có nhiều học sinh khá giỏi 
nhưng cũng có không ít học sinh yếu kém).
 + Đa số học sinh chưa xác định được mục đích của việc học.
 + Học sinh không có sự ôn luyện hè ở nhà.
 + Học sinh còn chịu ảnh hưởng của bệnh thành tích ở những năm trước không 
cần học cũng vẫn lên lớp. 
 + Học sinh nhận thức chậm, nhiều em lười học
 + Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử 
đặc biệt là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo. 
Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ? 
Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học. Suy luận 
kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau. 
Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic. Các em chưa có phương pháp học 
tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu kiên nhẫn khi gặp bài toán khó.
 + Một số em hổng kiến thức từ dưới (lên cấp II mà bảng cửu chương chưa 
thuộc).
 + Môn đại số 8 lượng kiến thức lớn, trình bày cần logic chặt chẽ nhưng lứa 
tuổi các em còn bỡ ngỡ và lập luận hay ngộ nhận, thiếu căn cứ.
 + Giáo viên chưa có nhiều thời gian và biện pháp hữu hiệu để phụ đạo học sinh yếu 
kém.
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk 
 7 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018
 Để phân tích đa thức thành nhân tử học sinh phải nắm vững các kiến thức liên 
quan đã học. Vì vậy giáo viên phải củng cố, khắc sâu cho học sinh cña m×nh c¸c ®¬n 
vÞ kiÕn thøc c¬ b¶n nh­ c¸c quy t¾c, thµnh th¹o phÐp nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, nh©n 
®a thøc víi ®a thøc, phÐp chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc, phÐp chia ®a thøc cho ®¬n thøc, 
chia hai ®a thøc ®· s¾p xÕp, c¸c quy t¾c ®æi dÊu ®a thøc, thËt thuéc vµ vËn dông thµnh 
th¹o c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
 Đặc biệt giáo viên phải cho học sinh n¾m v÷ng b¶n chÊt cña viÖc ph©n tÝch ®a 
thøc thµnh nh©n tö.
 §Þnh nghÜa: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (thõa sè) lµ biÕn ®æi ®a thøc thµnh 
tÝch cña nhiÒu ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c.
Khi giải một số bài toán đơn giản người ta có thể sử dụng một trong các phương pháp 
giải thông thường như:
 + Đặt nhân tử chung.
Ví dụ1: x2 – 2x= x( x–2) 
 + Dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: x2 – 2x+ 1= (x–1)2
 + Nhóm nhiều hạng tử (thường thì ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác nhau)
Ví dụ 3: x – 3xy+ 1– 9y2 = (x – 3xy)+ (1– 9y2) =x (1– 3y)+ (1– 3y) (1+3y) 
 = (1– 3y)(x+ 1+3y) 
 Tuy nhiên khi thực hành giải toán đòi hỏi chúng ta không những thành thạo các 
phương pháp trên mà cần phải biết phối hợp linh hoạt cả ba phương pháp kể trên để 
có thể phân tích được đa thức đã cho thành nhân tử. 
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 A = 3x2 5y 3xy 5x
 = ( 3x2 – 3xy) – ( 5x – 5y) (Nhóm các hạng tử)
 = 3x( x–y) –5( x–y) (Đặt nhân tử chung)
 = ( x–y) ( 3x –5) (Đặt nhân tử chung)
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk 
 9 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018
a m + 2 - a m = a m ( a2- 1 ) = am(a+1)(a-1) 
 * Biện pháp 2: Cung cấp thêm, mở rog các phương pháp thông thường 
cho HS các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Trong thực tế làm toán nhiều trường hợp chúng ta sử dụng linh hoạt hầu hết tất cả các 
phương pháp trên nhưng vẫn chưa đưa đến kết quả mong muốn, do đó chúng ta cần 
giúp HS biết thêm một số phương pháp khác khi làm một số bài toán phức tạp hơn đó 
là:
 + Phương pháp tách hạng tử.
 + Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
 + Phương pháp đặt ẩn phụ.
 + Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
 + Phương pháp dùng hệ số bất định.
 + Phương pháp đặt biến phụ
 + Phương pháp xét giá trị riêng.
 Cụ thể hóa các phương pháp trên ta đi tìm hiểu sâu một số ví dụ sau:
 1. Phương pháp tách hạng tử
 Ta có thể tách hạng tử tự do thành nhiều hạng tử để từ đó có thể kết hợp với các 
hạng tử trong bài toán trở thành hằng đẳng thức,hoặc xuất hiện nhân tử chung với các 
hạng tử còn lại để từ đó ta phân tích được bài toán.
 Ngoài cách tách hạng tử tự do ta còn có thể tách hạng tử bậc nhất( dùng cách 
tách tam thức bậc hai) thành hai hạng tử để nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử 
chung.
Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax 2 + bx +c thành nhân tử chung, 
ta làm như sau:
 Bước 1: Tìm tích ac
 Bước 2: phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
 Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b 
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk 
 11 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018
 = a2(a- 1))( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1) (Đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng 
thức)
 = ( a2 + a + 1)(a3 - a2 + 1) (Đặt nhân tử chung )
 b) P= x7 + x2 + 1
 = x7 – x + x2 + x + 1 (Thêm bớt x ) 
 = x(x3+1) (x3-1)+ (x2 + x + 1 ) (Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức) 
 = x(x3+1)(x-1)(x2 + x + 1) +(x2 + x +1) (Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức)
 = (x2 + x + 1 )(x5 – x4 + x2 - x + 1 )
 Chú ý: Các đa thức dạng x 3m+1 + x3n+2 +1 như x7 + x2 + 1, x7 + x5 + 1, x + x5 + 
1,. Đều chứa nhân tử x2 + x + 1
 Phương pháp này khi ta thêm bớt hạng tử giúp chúng ta rất tiện lợi tuy nhiên cần 
thông minh để thêm bớt hạng tử phù hợp cho bài toán của mình.
 3. Phương pháp đặt ẩn phụ( phương pháp đổi biến)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
 a) A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12
 b) B= x( x+4)(x+6)(x+10) +128
 Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
 a) A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12
 Ta thấy hai hạng tử của nhân tử thứ nhất hơn kém nhau 1đơn vị. Vậy ta có thể 
đặt ẩn phụ để đưa bài toán đơn giản hơn.
Đặt t = x2 + x+1 khi đó A = t(t + 1) -12 = t2 + t - 12 
Sau đó có thể phân tích t2 + t - 12 = t2 + 4t - 3t - 12 ( tách t = 4t - 3t)
 =( t2 + 4t) - (3t + 12) ( nhóm hạng tử)
 = t( t + 4) - 3( t + 4) = (t + 4)( t - 3) ( đặt nhân tử chung)
Hay A = (x2 + x+5)( x2 + x - 2)
 Ta x2 + x+5= (x+ )2 + 0 nên không phân tích được nữa 
còn x2 + x - 2= (x-1)(x+2)
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk 
 13