Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn Đại số 8

 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp 
 phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”
 MỤC LỤC
Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU ...................................................................................2
I. Đặt vấn đề ..........................................................................................................2
II. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................2
Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .................................................................3
I. Cơ sở lí luận của vấn đề.....................................................................................3
II. Thực trạng vấn đề .............................................................................................3
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: ............................................4
IV. Tính mới của giải pháp..................................................................................16
V. Hiệu quả SKKN:.............................................................................................16
Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .....................................................17
I. Kết luận:...........................................................................................................17
II. Kiến nghị: .......................................................................................................17
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................19
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám 1 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp 
 phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”
 Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 I. Cơ sở lí luận của vấn đề
 Phân tích đa thức thành nhân tử là một bộ phận vô cùng quan trọng của 
phân môn Đại số 8 nhưng nó áp dụng xuyên suốt trong quá trình học cấp Trung 
học cơ sở. Vì vậy nếu các em không nắm được phương pháp nhớ và vận dụng 
thì việc giải Toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử sẽ gặp rất nhiều 
khó khăn.
 Ví dụ một số bài Toán rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị của biểu 
thức mà muốn giải được học sinh cần phải phân tích đa thức thành nhân tử.
 Bài 55: (Trang 25/SGK Toán 8 tập 1) Tìm x, biết
 1
 a)x3 x 0
 4
 b) 2x 1 2 x 3 2 0
 c)x2 x 3 12 4x 0
 Bài 56: (Trang 25/SGK Toán 8 tập 1) Tính nhanh giá trị của đa thức: 
 1 1
 a)x2 x tại x = 49,75
 2 16
 b)x2 y2 2y 1 tại x = 93, y = 6
 Bài 56: (Trang 14/SBT Toán 8 tập 1) Rút gọn biểu thức:
 a) (6x + 1)2 + (6x – 1)2 – 2(1 + 6x)(6x – 1)
 b) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
 Những bài Toán được liệt kê phía trên là những ứng dụng điển hình quan 
trọng từ những hằng đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành nhân tử. Vì 
vậy giáo viên cần hướng học sinh nắm chắc phần này để làm tiền đề giải những 
dạng Toán liên quan sau này.
 II. Thực trạng vấn đề
 Sau khi các em học xong dạng Toán phân tích đa thức thành nhân tử, mỗi 
em cần hiểu rõ dạng Toán này đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc giải 
quyết các bài Toán liên quan như: rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị của 
biểu thức, giải phương trình, chứng minh chia hết, tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ 
nhất)  Vì vậy việc nắm vững các dạng phân tích đa thức thành nhân tử là rất 
cần thiết.
 Tuy nhiên trong quá trình giải toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử 
thì đa số các em vận dụng chưa tốt, đặc biệt có nhiều em chưa nắm chắc lý 
thuyết, hoặc chỉ nhận dạng được các công thức này ở những dạng đơn giản, còn 
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám 3 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp 
 phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”
 A3 B3 A B A2 AB B2 
 A3 B3 A B A2 AB B2 
 * Học sinh cần học thuộc các cách phân tích đa thức thành nhân tử: 
 + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
 + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
 + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
 + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
 2. Các bài tập
 Trước tiên ta phải nhấn mạnh cho học sinh hiểu rõ: Phân tích đa thức thành 
nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
 2.1. Dạng 1: Bài tập đơn giản ở mức độ nhận biết.
 2.1.1. Phương pháp:
 - Xét xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
 - Xác định biểu thức A, B
 - Thay các biểu thức A, B vào hằng đẳng thức vừa xác định.
 2.1.2. Bài tập:
 Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 a) x2 2xy y2
 b) x2 2x 1
 c) x2 4
 d) x3 3x2 3x 1
 e) x3 6x2 12x 8
 g) x3 27
 h) x3 1000
 Giải:
 Đây là những dạng bài tập nhận biết cơ bản, yêu cầu học sinh nhận dạng 
được hằng đẳng thức, sau đó cho các em xác định biểu thức A, biểu thức B trong 
từng câu rồi áp dụng công thức để phân tích:
 2
 a) x2 2xy y2 x y 
 2
 b) x2 2x 1 x2 2.x.1 12 x 1 
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám 5 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp 
 phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”
 Học sinh cần phải nắm rõ với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là 
một biểu thức gồm cả số và biến hoặc gồm hai biến thì phải sử dụng dấu ngoặc 
và lũy thừa của cả biểu thức đó.
 Ví dụ: 
 9x2 36xy 36y2 3x 2 2.3x.6y 6y 2 3x 6y 2
 Trong đó A 3x; B 6y
 2 2
 Hoặc x2 20xy 100y2 x2 2.x.10y 10y x 10y 
 Trong đó A x; B 10y
 Vì vậy bài Toán được giải đúng như sau:
 b)4x2 4x 1 2x 2 2. 2x .1 12 2x 1 2
 c)4x2 12x 9 2x 2 2. 2x .3 32 2x 3 2
 Giáo viên luôn luôn nhấn mạnh với học sinh là cần xác định chính xác biểu 
thức A, B trước khi làm bài để tránh sai sót về sau.
 d) Tương tự, sau khi học sinh đọc đề thì giáo viên định hướng và yêu cầu 
 1
học sinh xác định đúng A = x và B = 2y, sau đó giáo viên cho học sinh phân 
 2
tích cụ thể biểu thức A2, 2AB và B2 đúng rồi sau đó mới tiến hành giải.
 2 2 2
 x 2 1 1 2 1 
 2xy 4y x 2. x .2y 2y x 2y 
 4 2 2 2 
 2.2. Dạng 2: Dạng bài biến đổi, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử để làm 
xuất hiện hằng đẳng thức.
 2.2.1. Phương pháp:
 - Phát hiện nhân tử chung hoặc nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng 
thức.
 - Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử.
 2.2.2. Bài tập:
 Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 a) x3 2x2 y xy2
 b) x3 3x2 3x 1 y3
 Giải:
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám 7 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp 
 phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”
 Bài này có độ khó hơn, giáo viên định hướng học sinh khai triển ra rồi lại 
nhóm các hạng tử vào cách khác để tạo ra nhân tử chung, đồng thời tách 2xyz 
thành xyz + xyz, cụ thể ta giải như sau:
 xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz
 = x2y+ xy2 + yz(y + z) + x2z + xz2 + xyz + xyz
 = (x2y + x2z) + yz(y + z) + (xy2 + xyz) + (xz2 + xyz)
 = x2(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z)
 = (y + z)( x2 + yz + xy + xz) = (y + z)[(x2 + xy) + (xz + yz)]
 = (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z)
 Tương tự câu b
 2 2 2
 b) x y z y x z z x y 4xyz
 Câu b cách làm cũng tương tự, khai triển xong rồi nhóm lại cách khác, cụ 
thể: khai triển hai biểu thức đầu tiên là x y z 2 y x z 2 ta được 
 x y2 2yz z2 y x2 2xz z2 , nhân đơn thức cho đơn thức ta được 
 xy2 x2 y xz2 yz2 4xyz , sau đó tiếp tục đặt nhân tử chung trong biểu thức 
thứ hai rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
 Như vậy, bài giải được trình bày như sau:
 x y z 2 y x z 2 z x y 2 4xyz
 x y2 2yz z2 y x2 2xz z2 z x y 2 4xyz
 xy2 x2 y xz2 yz2 z x y 2 xy x y z2 x y z x y 2
 x y . xy z2 z x y x y xy z2 xz yz 
 x y xy xz yz z2 x y x y z z y z 
 x y y z x z 
 Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có thể bớt đi một số bước làm để bài Toán 
được ngắn gọn hơn.
 Như vậy ta để ý thấy rằng kết quả hai bài trên giống nhau, nếu gặp bài 
Toán mở rộng, Cho hai biểu thức 
 A xy x y yz y z xz x z 2xyz
 B x y z 2 y x z 2 z x y 2 4xyz
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám 9 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp 
 phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”
 a) x2 + xy + x tại x = 0 và y = 1234
 b) xy(x – y) + y2(y – x) tại x= 530 và y = 0
 Giải:
 a) Giáo viên cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử, rồi thế giá trị 
vào biểu thức:
 x2 + xy + x = x ( x + y + 1 ).
 Thay x = 0 và y = 1234, ta được 0.1235 = 0
 Giáo viên đưa ra kết luận: dạng bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích 
thành nhân tử, thay giá trị vào xuất hiện một nhân tử bằng 0 thì không cần tính 
giá trị của thừa số thứ hai nữa. 
 Ví dụ ta xét tiếp câu b) xy(x – y) + y2(y – x).
 Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ta được kết quả y(x – y) 2, thay giá 
trị y = 0 vào biểu thức ta sẽ nhận được kết quả bằng 0.
 2.5. Dạng 5: Giải phương trình tích thông qua phân tích đa thức thành nhân 
tử.
 2.5.1. Phương pháp:
 - Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái để vế phải có giá trị 
là 0
 - Áp dụng các cách phân tích để biến đổi vế trái thành dạng nhân tử để giải 
phương trình tích.
 2.5.2. Bài tập: Giải các phương trình sau:
 a) 5x(x – 1) = x – 1
 b) 2(x + 5) – x2 – 5x = 0
 Giải:
 a) Giáo viên gợi ý học sinh chuyển vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
 5x(x – 1) = x – 1
 ⇔ 5x(x – 1) – (x – 1) = 0
 ⇔ (5x – 1)(x – 1) = 0
 ⇔ 5x – 1 = 0 hoặc x – 1 = 0
 • x – 1 = 0 ⇔ x = 1
 1
 • 5x – 1 = 0 ⇔ x = 
 5
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám 11 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp 
 phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”
 Giải:
 - Giáo viên gợi ý học sinh làm câu a, tách 2 9 thành một số mũ 3 để biểu 
thức cần chứng minh trở thành A 3 – B3. Sau đó áp dụng hằng đẳng thức đáng 
nhớ học sinh dễ dàng chứng minh được như sau
 3
 a)29 1 23 1 83 1 83 13 8 1 82 8.1 12 7.73
 Vậy 7.73 chia hết cho 7.
 Do đó 29 1 chia hết cho 7
 - Tương tự, đối với câu b này, giáo viên định hướng cho học sinh đặt nhân 
tử chung. Tách 56 và 104 làm sao để xuất hiện nhân tử chung, cách làm như sau:
 b)56 104 54.52 54.24 54 52 24 54.9
 Vậy 54.9 chia hết cho 9.
 Do đó 56 104 chia hết cho 9.
 2 2
 - Câu c đề bài n 3 n 1 giáo viên cho học sinh tự liên tưởng tới 
hằng đẳng thức, rõ ràng học sinh sẽ nghĩ đến 2 hằng đẳng thức là bình phương 
của một tổng, bình phương của một hiệu. Tuy nhiên giáo viên yêu cầu học sinh 
nhìn một cách tổng quát hơn, học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức hiệu hai 
bình phương.
 Sau khi học sinh xác định đúng dạng hằng đẳng thức thì giáo viên cho học 
sinh làm bài:
 c) n 3 2 n 1 2 n 3 n 1 n 3 n 1 
 2n 2 4 8n 8 8 n 1 
 Bài Toán trên học sinh thường mắc phải lỗi do dấu trừ trước biểu thức thứ 
hai nên sẽ có một số học sinh tính ra kết quả sau:
 2 2
 n 3 n 1 n 3 n 1 n 3 n 1 (Cách làm sai của HS)
 do đó giáo viên cần nhấn mạnh học sinh đặc biệt chú ý với các biểu thức có 
nhiều hạng tử mà trước ngoặc có dấu trừ.
 - Với câu d cách làm hoàn toàn tương tự, ta có
 d) n 6 2 n 6 2 n 6 n 6 n 6 n 6 
 2n.12 24n
 Như vậy 24n chia hết cho 24 hay n 6 2 n 6 2 chia hết cho 24.
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám 13 Giáo viên: H’An Niê Kdăm