Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số

 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
 MỤC LỤC
 Nội dung Trang
 I. PHẦN MỞ ĐẦU
 1. Lý do chọn đề tài 2
 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 2
 3. Đối tượng nghiên cứu 3
 4. Giới hạn của đề tài 3
 5. Phương pháp nghiên cứu 3
 a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận 3
 b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn 3
 c) Phương pháp thống kê toán học 3
 II. PHẦN NỘI DUNG
 1. Cơ sở lí luận 4
 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu 4
 3. Nội dung và hình thức của giải pháp 5
 a) Mục tiêu của giải pháp 5
 b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 5
 c) Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp 27
 d) Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu, 27
 phạm vi và hiệu quả ứng dụng 
 III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
 1. Kết luận 28
 2. Kiến nghị 29
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 1 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em học sinh có được sự tự tin trong học 
tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán và niềm đam mê bộ môn.
 Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương 
pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp 
học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng 
sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, 
chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể 
giải được nhiều dạng toán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học 
phong phú để học tốt môn toán và các môn khoa học khác.
 3. Đối tượng nghiên cứu:
 Một số kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khi dạy 
chuyên đề về tìm cực trị của một biểu thức đại số.
 4. Giới hạn của đề tài:
 Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ một số dạng toán tìm cực trị 
của một biểu thức
 Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối lớp 8 và khối lớp 9 trường THCS 
Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk.
 Thời gian nghiên cứu: Qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 
2016 - 2017
 5. Phương pháp nghiên cứu:
 a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận:
 - Nghiên cứu lí thuyết, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu các tài liệu 
trên mạng internet, các bài toán tìm cực trị của một biểu thức trong các đề thi 
học sinh giỏi các cấp qua các năm.
 - Tiến hành phân theo từng dạng bài tập và đề xuất phương pháp giải cho 
từng thể loại bài tập.
 - Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận, thống nhất.
 b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
 - Điều tra, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
 - Thực nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 8 và khối 
lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh 
ĐăkLăk qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2016 - 2017
 - Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy
 c) Phương pháp thống kê toán học:
 - Thống kê kết quả học tập của học sinh sau khi áp dụng đề tài.
 - Đối chiếu so sánh giữa các năm học với nhau.
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 3 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
biểu thức đại số” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào 
thực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa 
học, lập luận logic và chặt chẽ. Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập. 
 3. Nội dung và hình thức của giải pháp:
 a) Mục tiêu của giải pháp: 
 Đề tài “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực 
trị của một biểu thức đại số” nhằm mục đích tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều 
dạng khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, trang bị 
cho học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các 
dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số từ cơ 
bản đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp 
trong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo. Tạo 
hứng thú, niềm đam mê, yêu thích các dạng toán cực trị đại số thông qua các bài 
toán có tính tư duy.
 b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
 Dạng 1: Biểu thức có dạng tam thức bậc hai ax2 bx c a 0 
 * Chú ý: Tam thức bậc hai ax2 bx c a 0 đạt giá trị nhỏ nhất nếu 
a > 0 và đạt giá trị lớn nhất nếu a < 0.
 * Phương pháp giải: 
 Đặt A=ax2 bx c a 0 
 Trường hợp a > 0: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta thực hiện 
 qua ba bước sau:
 Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử dụng một trong hai hằng đẳng thức: 
 a b 2 a 2 2ab b2 hoặc a b 2 a 2 2ab b2 để biến đổi biểu thức A sao cho 
 A k (với k là hằng số);
 Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k
 Bước 3: Kết luận AMin = k khi x = x0.
 Trường hợp a < 0: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta thực hiện 
 qua ba bước sau:
 Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử dụng một trong hai hằng đẳng thức: 
 a b 2 a 2 2ab b2 hoặc a b 2 a 2 2ab b2 để biến đổi biểu thức A sao cho 
 A k (với k là hằng số);
 Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k
 Bước 3: Kết luận AMã = k khi x = x0.
 * Thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc 
hai ax2 bx c a 0 trên máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 5 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C = 1 – 6x – x2
 Giải:
 Ta có: C = - x2 – 6x + 1 = - (x2 + 6x + 9) + 9 + 1 = 10 – (x + 3 )2
 Vì (x + 3 )2 0 với mọi x R
 nên 10 – (x + 3 )2 10 với mọi x R
 Dấu “=” xảy ra x + 3 = 0 x = -3
 Vậy CMax = 10 khi x 3
 2 
 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = - 2x + 5x +1
 Giải:
 2
 2 5 2 5 25 25 33 5 
 Ta có: D 2 x x 1 2 x 2x. 1 2 x 
 2 4 16 8 8 4 
 2 2
 5 33 5 33
 Vì 2 x 0 với mọi x R nên 2 x với mọi x R
 4 8 4 8
 5 5
 Dấu “=” xảy ra x 0 x 
 4 4
 33 5
 Vậy DMax = khi x 
 8 4
 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E x 1 2 x 3 2
 Đối với biểu thức E ở trên, học sinh dễ bị mắc sai lầm như sau: 
 2
 Vì x 1 0 với mọi x R
 2
 và x 3 0 với mọi x R
 nên x 1 2 x 3 2 0 với mọi x R
 x 1 0 x 1
 Dấu “=” xảy ra 
 x 3 0 x 3
 Vậy EMax = 0 khi x 1 và x 3
 Phân tích sai lầm trên như sau:
 2
 Vì x 1 0 (1) với mọi x R
 2
 và x 3 0 (2) với mọi x R
 Nhưng không thể kết luận được giá trị nhỏ nhất của E bằng 0 vì không 
đồng thời xảy ra dấu bất đẳng thức ở (1) và (2) .
 Lời giải đúng như sau:
 Ta có: E x2 2x 1 x2 6x 9 2x2 8x 10 
 2(x2 4x 4) 2 2(x 2)2 2
 Vì 2 x 2 2 0 với mọi x R
 nên 2(x 2)2 2 2 với mọi x R
 Dấu “=” xảy ra x - 2 = 0 x 2
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 7 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
 2 2
 Ta có: A 
 x2 6x 17 x 3 2 8
 Vì x 3 0 với mọi x R
 nên (x – 3 )2 + 8 8 với mọi x R
 2 2 1
 với mọi x R
 x 3 2 8 8 4
 Dấu “=” xảy ra x – 3 = 0 x = 3 
 1
 Vậy AMax = khi x 3
 4
 5
 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 
 x2 2x 6
 Giải:
 5 5 1
 Ta có: B 
 x2 2x 6 x2 2x 6 x 1 2 5
 Vì x 1 2 0 Với mọi x R
 nên (x 1)2 5 5 với mọi x R
 5 5
 1 với mọi x R
 (x 1)2 5 5
 5
 1 với mọi x R
 (x 1)2 5
 Dấu “=” xảy ra x – 1 = 0 x = 1
 Vậy BMin -1 khi x 1
 2
 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C 
 6x 5 9x2
 2 2 2
 Giải: Ta có: C 
 6x 5 9x2 9x2 6x 5 3x 1 2 4
 Vì 3x 1 2 0 với mọi x R
 2
 nên 3x 1 4 4 với mọi x R
 2 2 1
 với mọi x R
 3x 1 2 4 4 2
 2 1
 với mọi x R
 3x 1 2 4 2
 1
 Dấu “=” xảy ra 3x – 1 = 0 x = 
 3
 1 1
 Vậy CMin = khi x = 
 2 3
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 9 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
 Giải:
 2x2 8x 10 4 4
 Ta có: B 2 2 
 x2 4x 3 x2 4x 3 x 2 2 1
 B đạt giá trị lớn nhất khi x 2 2 1 đạt giá trị nhỏ nhất
 x 2 2 1 đạt đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi x 2
 4
 Vậy B 2 2 khi x 2
 Max 1
 Dạng 4: Biểu thức là phân thức có tử là tam thức bậc hai, mẫu là bình 
phương của nhị thức bậc nhất. 
 * Phương pháp giải:
 ax2 bx c
 Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức có dạng , 
 ux+v 2
trong đó x là biến. Ta thực hiện như sau:
 2
 - Biến đổi tử thức về dạng a ux+v p ux+v q (p, q là hằng số)
 2 2
 a ux+v p ux+v q 1 1 
 -Phân thức trở thành 2 a p. q 
 ux+v ux+v ux+v 
 -Từ đó thực hiên tương tự như dạng 1
 * Các ví dụ minh họa:
 x2 x 1
 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x 1 2
 Giải:
 Ta có: x2 x 1 x2 2x 1 x 1 1 x 1 2 x 1 1
 2
 x2 x 1 x 1 x 1 1 1 1
 A 1 
 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 2
 2 2
 1 1 1 1 3 1 1 3
 = + 2. . + + = 
 x 1 x 1 2 4 4 x 1 2 4
 2
 1 1 
 Vì 0 với mọi x 1
 x 1 2 
 2
 1 1 3 3
 nên với mọi x 1
 x 1 2 4 4
 1 1 1 1
 Dấu “=” xảy ra 0 x – 1 = -2 x = -1
 x 1 2 x 1 2
 3
 Vậy AMin = khi x 1
 4
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 11